Задача Знайти для заданої опуклої вниз функції. Припущення Множина розв’язків непорожня



Скачати 325,12 Kb.
Сторінка5/24
Дата конвертації27.01.2020
Розмір325,12 Kb.
ТипЗадача
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24
Теорема 1. Нехай – майже диференційована функція і точка її локального мінімуму. Тоді, якщо в процесі реалізації алгоритму 1 виконуються умови:









то існує така підпослідовність та число що

,

Теорема 1'. Нехай майже диференційована функція, визначена в деякому околі точки локального мінімуму, і в тих точках, де функція диференційована, її похідна по напрямку задовольняє нерівність

, , .

Тоді якщо в алгоритмі 1 прийняти:



;





,

то знайдуться константа і підпослідовність індексів , такі, що

,

Зауваження 1. Описаний в теоремі 1' спосіб вибору коефіцієнта розтягнення , та крокового множника , знаходить безпосереднє застосування при розв’язуванні систем нелінійних рівнянь

шляхом зведення до задачі .

При цьому, в регулярному випадку при достатньо доброму початковому наближені константи і можна вибирати близькими до одиниці, що забезпечує швидку збіжність.

При розв’язанні опуклих задач, в загальному випадку невідоме, тому виникає питання про вибір під час обчислень. Справедлива наступна теорема.



Теорема 1''. Нехай опукла вниз функція має наступні властивості: існує стала така, що якщо функція ,

, ,

строго спадаюча по , то виконується нерівність

,

де – похідна функції по напрямку в точці ;





Тоді, якщо в алгоритмі 1 прийняти

;

,

де більше або рівне , то послідовність є обмеженою і для будь-якого знайдеться таке , що



(обчислення припиняються, якщо на деякому кроці ). Якщо вибране меншим за , то послідовність є необмеженою.

Зауваження 1'. Теорема дозволяє будувати алгоритм мінімізації функції , яка задовольняє умовам теореми, при невідомому . Цей алгоритм пов’язаний з підбором з використанням наступних ознак: якщо при деякому кроковий множник перевищує наперед задане достатньо велике число, то збільшується; при наближені до – значення зменшується.

Теорема 1'''. Нехай функція опукла вниз в і в процесі застосування алгоритму 1 виконуються наступні умови:



,



.

Тоді для послідовності , яка породжена алгоритмом 1, справедливі наступні нерівності

, .


Каталог: MatMet


Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   24


База даних захищена авторським правом ©pedagogi.org 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка