Програма фахового іспиту зі спеціальності "математика" освітня програма "



Дата конвертації06.05.2020
Розмір48,5 Kb.
ТипПрограма

ПРОГРАМА

фахового іспиту зі спеціальності “математика” (освітня програма “математика”)

для вступників на навчання за освітнім рівнем “магістр”

на 2018/2019 навчальний рік

1. Математичний аналіз



  1. Поняття границі послідовності: числової, функцій (поточкова і рівномірна), елементів ме­тричного простору.

  2. Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.

  3. Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних.

  4. Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.

  5. Інтеграл Рімана, умови його існування. Формула Ньютона - Лейбніца.

  6. Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

  7. Ряд Тейлора. Умови розкладу функції в ряд Тейлора. Основні розклади.

  8. Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.

  9. Теорема Банаха про стискаючі відображення.

  10. Необхідні й достатні умови диференційовності функцій кількох змінних.

  11. Достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.

  12. Формула зведення кратного інтеграла по брусу до повторного.

  13. Достатні умови збіжності ряду Фур'є в точці.

  14. Формула заміни змінних у кратному інтегралі.

  15. Формули Гріна, Гаусса - Остроградського, Стокса.

2. Теорія міри та інтеграла

  1. Конструкція міри Лебега.

  2. Вимірні функції. Критерій вимірності.

  3. Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.

  4. Конструкція інтеграла Лебега.

  5. Теореми про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.

3. Функціональний аналіз

  1. Банахові простори. Приклади.

  2. Гільбертів простір. Ортонормовані базиси. Загальний вигляд лінійного неперервного функціонала в гільбертовому просторі.

  3. Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.

  4. Теорема Гана - Банаха.

  5. Теорема Банаха про обернений оператор.

  6. Принцип рівномірної обмеженості.

  7. Компактні оператори та теореми Фредгольма.

  8. Теорема про спектр компактного оператора.

4. Лінійна алгебра

  1. Матриці та дії над ними. Обернена матриця.

  2. Теорема про рівнопотужність баз у скінченновимірному векторному просторі.

  3. Теорема про ранг матриці.

  4. Визначники, їх властивості та застосування.

  5. Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення.

  6. Формули зміни координат вектора і матриці лінійного перетворення при зміні бази.

  7. Жорданова нормальна форма лінійного оператора (матриці).

  8. Канонічний вигляд самоспряженого оператора в евклідовому просторі.

  9. Закон інерції дійсних квадратичних форм.

  10. Критерій Сільвестра.

5. Алгебра та теорія чисел

1) Поняття групи та кільця. Гомоморфізми та ізоморфізми.



  1. Теорема Лагранжа про порядки групи та підгрупи.

  2. Дія групи на множині і лема Коші - Фробеніуса - Бернсайда.

  3. Основна теорема про гомоморфізм груп.

6. Аналітична геометрія

  1. Векторний та мішаний добутки векторів, вираз через координати векторів-співмножників.

  2. Взаємне розміщення двох прямих (умова мимобіжності, паралельності, перетину, збігу).

  3. Головні напрями ліній другого порядку. Характеристичне рівняння. Канонічні рівняння ліній другого порядку.

  4. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку в просторі.

  5. Зведення рівняння поверхні другого порядку до найпростішого вигляду.

  6. Інваріанти ліній другого порядку.

7. Диференціальна геометрія та топологія

  1. Тригранник Френе, кривина та скрут кривої.

  2. Формули Френе.

  3. Повна та середня кривина поверхні. Класифікація точок на поверхні. Теорема Гаусса про повну кривину поверхні.

  4. Аксіоми відомкремлюваності. Регулярні та нормальні простори. Лема Урисона.

  5. Зв'язні простори та множини. Лінійна зв'язність.

  6. Скрізь щільні та ніде не щільні множини, критерії.

  7. Гомотопічні відображення і гомотопічна еквівалентність.

8. Диференціальні рівняння

  1. Теореми Пікара та Пеано для нормальної системи.

  2. Теорема про існування фундаментальної системи розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння довільного порядку.

  3. Теорема про існування повного набору перших інтегралів для нормальної системи.

  4. Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим.

  5. Теорема про стійкість за першим наближенням.

  6. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість.

9. Варіаційне числення

  1. Теореми про апроксимацію в нормованих і гільбертових просторах.

  2. Теорема Куна – Таккера.

  3. Необхідні умови локального екстремуму в гладких задачах з обмеженнями.

  4. Необхідні умови локального екстремуму в задачах Лагранжа, Больца та ізопериметричній задачі.

5) Принцип максимуму Понтрягіна в задачах Больца та оптимальної швидкодії.

10. Комплексний аналіз



  1. Поняття аналітичної функції в точці. Геометричний зміст модуля і аргументу похідної функції комплексної змінної. Конформні відображення.

  2. Класифікація аналітичних функцій за їх особливими точками: цілі функції, мероморфні
    функції. Теорема про мероморфну функцію.

  3. Теорема Коші про інтеграл від аналітичної функції.

  4. Основні поняття теорії аналітичного продовження.

  5. Теорема про аналітичність суми степеневого ряду в крузі збіжності.

  6. Теорема Коші про лишки.

  7. Принцип симетрії Рімана - Шварца.

11. Рівняння математичної фізики

  1. Постановки основних задач математичної фізики та їх фізичний зміст.

  2. Задача Штурма - Ліувілля. Основні властивості власних функцій та власних значень.

  3. Гармонічні функції та їх властивості.

  4. Поняття фундаментального розв'язку для рівняння теплопровідності.

  5. Функція Гріна неоднорідної крайової задачі Діріхле в крузі.

12. Теорія ймовірностей

  1. Загальне означення випадкової величини та вектора, борельова -алгебра, критерій вимірності.

  2. Функція розподілу та її властивості, породжена міра Лебега - Стілтьєса.

  3. Функції від випадкової величини, перетворення величин, апроксимація простими величинами.

  4. Приклади обчислення математичного сподівання (дискретний та неперервний випадки).

  5. Математичне сподівання добутку та дисперсія суми незалежних величин.

  6. Граничні теореми Пуассона, Муавра-Лапласа.

  7. Посилений закон великих чисел Колмогорова.

  8. Класична центральна гранична теорема.

13. Математична статистика

  1. Статистики, оцінки та їх властивості.

  2. Статистичні критерії, рівень та потужність, найбільш потужні критерії.

  3. Властивості вибіркових моментів.

14. Інформатика

1) Поняття типу даних.

2) Перша теорема про рекурентні співвідношення.

15. Методи обчислень



  1. Метод скінченних різниць розв'язування крайових задач.

  2. Інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа, його побудова і похибка.

  3. Теорема про коректність методу прогонки розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з тридіагональною структурою матриці.

Програму затверджено на засіданні Вченої ради механіко-математичного факультету, протокол № 6 від 19 лютого 2018 року.




Декан механіко-математичного факультету М.Ф.Городній


Поділіться з Вашими друзьями:


База даних захищена авторським правом ©pedagogi.org 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка