Метод граничних елементів



Скачати 84,22 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації27.01.2020
Розмір84,22 Kb.
  1   2
    Навігація по даній сторінці:
  • Тоді

9. Метод граничних елементів.
Для розв’язку ряда задач достатньо визначити шукані величини тільки на межі досліджуваної області, що знижує розмірність розглядуваних задач.

Одним з найбільш широко використаних чисельних методів, що дозволяють вирішити дану проблему, є МГЕ, суть якого полягає у слідуючому.

Нехай U0 – точний розв’язок рівняння Лапласа на області
, (2.1)
що задовольняє граничним умовам.
(2.2)
( – повна межа розглядуваної області ).

Точний розв’язок U0 може бути знайдено тільки для небагатьох (до того ж простих) випадків, тому, як правило, розв’язок треба апроксимувати. Отже, отримаємо наближений вираз для функції U, тобто розв’язок, підстановка якого в (2.1) і (2.2) порушить указані рівності:


(2.3)
де .

Таким чином, для розглядуваної області та її межи можна визначити функції помилок


(2.4)
Тепер головне завдання – зробити ці помилки якнайменшими як у розглядуваній області, так і на межі. Для цього розподілимо функцію помилок наступним чином згідно з [1]:
, (2.5)
де – вагова функція;
. (2.6)
Співвідношення (2.5) можна записати в іншому вигляді, використовуючи вираз (2.4):
. (2.7)
Вагова функція – повинна бути неперервною разом зі своїми другими похідними та задовольняти рівнянню
(2.8)
на всій площині .
Інтегруючи співвідношення (2.7) два рази за частинами та враховуючи (2.8), отримаємо
. (2.9)
Тут і – шукані, а і – задані.

Якщо контур розбити на скінчене число граничних елементів K1+K2, тобто


,
причому на кожному елементі Ui і qj вважаємо постійними , то рівняння (2.9) матиме вигляд
. (2.10)
В якості вагової функції розглянемо фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа
. (2.11)
Оскільки рівняння (2.10) однорідне, коефіцієнт перед логарифмом можна відкинути. Координати джерела обираємо не на контурі, а на відстані на зовнішній нормалі, де d – довжина елемента.

Координати джерела можна обчислити за формулами


(2.12)

Підставляючи вагову функцію (2.11) у (2.10), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, коефіцієнти якої є криволінійні інтеграли першого роду, обчислювані для кожного елемента.

Для обчислення значення U у внутрішній точці i області використовується співвідношення [1]


, (2.13)
яке зв’язує значення функції U в точці i зі значенням q і U на межі .

У формулі (2.13) – задані, q, U – знайдені величини, а – фундаментальний розв’язок (2.11), в якому за джерело береться внутрішня точка .



Примітка. Для визначення і , де n – нормаль до кола, можна отримати формули для двох випадків.


  1. Коли нормаль направлена до центру кола, рівняння кола (тут (a, b) – координати центру, R – радіус кола) перепишемо у вигляді


;
знаходимо

складемо допоміжну функцію


.

Тоді






  1. Якщо нормаль направлена від центру, рівняння кола запишеться



Подальші міркування аналогічні наведеним у п. 1.

Отримаємо



Приклад 2.1. Розглянемо задачу теплопровідності для контура (мал. 2.1), де на сторонах L1, L2, L4, L5 – задана температура, а на сторонах L3, L6 – задано тепловий потік.

Математична формуліровка задачі має

вигляд

y

2 L2

L3 L1

1 L4 L6

0 1 L5 3 4 x

Мал. 2.1

Тоді за контур приймаємо суму L1+L2+L4+L5, а за контур - суму L3+L6 . Граничне рівняння має вигляд




(*)
Враховуючи
,
отримаємо
;









Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2


База даних захищена авторським правом ©pedagogi.org 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка