Екстраполяційний метод



Скачати 104,96 Kb.
Сторінка1/2
Дата конвертації29.03.2019
Розмір104,96 Kb.
  1   2



Інтерполяційний метод мажорантного типу


УДК 518.12

Інтерполяційний метод мажорантного типу

розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь


Л. Підківка, Г. Цегелик

Львівський національний університет імені Івана Франка

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kafmmsep@ franko.lviv.ua
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2], побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку та досліджено його збіжність.

Ключові слова: мажоранта і діаграма Ньютона функції; задача Коші; інтерполяційний метод мажорантного типу; система звичайних диференціальних рівнянь

1. ВСТУП


Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій дійсної змінної [1,2] має широке застосування в чисельному аналізі. Зокрема, за допомогою цього апарату побудовано чисельний метод інтерполяційного типу розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку [3], доведено його збіжність [4] та обчислювальну стійкість [5], визначено швидкість збіжності. Метод найефективніший у випадку, коли права частина диференціального рівняння є опуклою функцією, і точним тоді, коли розв’язок диференціального рівняння має вигляд . Ми використали апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона для побудови чисельного методу інтерполяційного типу розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

2. ФОРМУЛЮВАННЯ ЗАДАЧІ

Розглянемо задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь

(1)

(2)

Будемо шукати розв’язок цієї задачі на деякому проміжку , де . У цьому разі припускатимемо, що в області , яка містить паралелепіпед , функції , є неперервними і задовольняють умову Ліпшиця за і , тобто

;

,

де , – деякі сталі; а , – будь-які точки області .

Виберемо на проміжку систему точок , де , , , і, використовуючи апарат мажорант Ньютона, побудуємо чисельний метод відшукання наближених значень точного розв’язку , в точках .

3. ЧИСЕЛЬНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ТА ЙОГО ЗБІЖНІСТЬ

Нехай , – шуканий розв’язок задачі (1), (2). Підставимо його в рівняння системи (1) й одержимо тотожності

Проінтегруємо ці тотожності на кожному з проміжків . Отримаємо

(3)

Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що і для всіх . Побудуємо для функцій і мажоранти Ньютона, відповідно, за точками і та за точками і . Одержимо

,

де , ;

,

де , .

Тепер підінтегральні функції і в (3) замінимо мажорантами Ньютона:

де – залишкові члени. Обчисливши при і інтеграли, одержимо

При і

Зазначимо, шо на основі границі

одержуємо

(4)

Справді, якщо позначити

то


Оскільки при

то це означає, що справджуються границі (4).

Отже, для знаходження наближених значень розв’язку , задачі (1), (2) одержуємо формули

(5)

де

.



Аналогічно як у [4], використовуючи границі (4), можна довести таку теорему.




Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2


База даних захищена авторським правом ©pedagogi.org 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка