Д пед н., проф., зав каф фізики й методики викладання фізики зну



Сторінка24/120
Дата конвертації25.03.2020
Розмір4,24 Mb.
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   120
Приклад. Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь, що підготовлена до ітерацій, має вигляд

, (1)

де – матриця, – вектор вільних членів, – шуканий вектор. Причому матриця B має параметричний вигляд

.

Знайти області збіжності методів простої ітерації й Зейделя.



Розв’язання. Скористаємось теоремою про достатні умови збіжності методу простої ітерації: якщо найбільший з модулів власних чисел матриці строго менше за одиницю, то метод простої ітерації збігається. Складаємо характеристичне рівняння для матриці B: або .

Звідки і умова збіжності методу простої ітерації в площині (p, q) визначає геометричне місце точок – круг одиничного радіусу з центром в початку координат Opq.

Скористаємось теоремою про достатні умови збіжності методу Зейделя: якщо всі корені характеристичного рівняння

=0

за модулем менше одиниці, то метод Зейделя збігається ( – матриця метода Зейделя). Складаємо характеристичне рівняння для цього випадку:



або . (2)

Дослідження цього рівняння щодо умови зведемо до дослідження квадратного рівняння з додатними коефіцієнтами



, (3)

для якого відомі властивості коренів:



. (4)

Перетворення області в здійснюється дробово-лінійною функцією . В результаті характеристичне рівняння (2) набуває вигляду (3), де , .



Використовуючи (4), отримаємо умови збіжності методу Зейделя: , – трикутник з вершинами в точках , , площини . Як бачимо, для одного і того ж рівняння (1) метод простої ітерації й метод Зейделя можуть давати різні результати щодо їх збіжності, що надає можливість дослідникові дійти висновку про те, що збіжності методів простої ітерації й Зейделя між собою не пов’язані.

Формування дослідницьких компетентностей студентів засобами прикладних математичних дисциплін зумовлює посилення уваги до визначення відповідних компонентів змісту навчання, зокрема до дисциплін вільного вибору (закладу чи студентів). Кілька років у Бердянському державному педагогічному університеті для студентів, що навчаються за спеціальністю “Математика*”, викладається дисципліна “Додаткові розділи природничих наук”, вивчення якої, зокрема, передбачає ознайомлення з основами теорії та застосуваннями фракталів. Це дозволяє не тільки розширювати уявлення майбутніх учителів математики щодо процесу взаємопроникнення ідей абстрактних і природничих наук та напрямків розвитку сучасної математики, а й розкривати перед ними перспективи подальшої педагогічної діяльності з організації дослідницької роботи тих, хто навчатиметься в середніх загальноосвітніх закладах.

Сьогодні теорія фракталів упевнено проникає в усі сфери наукових пошуків, допомагаючи усвідомлювати ще одну грань нескінченності наукового пізнання. Фрактали широко використовуються в різних галузях математики і далеко за її межами: у фізиці, матеріалознавстві, біології і геофізичній динаміці, теорії протікання тощо. Використання властивостей фракталів застосовується для створювання нових матеріалів із заздалегідь заданими характеристиками. В інформатиці використання результатів фрактального аналізу дало змогу побудувати ефективні алгоритми стиснення інформації, а в математиці він застосовується в теоріях різних математичних структур [5].

Місце вивчення фракталів у загальній структурі навчально-виховного процесу визначається логіко-математичним аналізом матеріалу. Оскільки фрактал – це множина, топологічна розмірність якої строго менш за її розмірності Хаусдорфа (за Б. Мандельбротом), то для засвоєння теорії фракталів студентам-математикам необхідно володіти поняттями метричного та топологічного простору, які розглядаються при вивченні таких дисциплін, як “Функціональний аналіз” і “Диференціальна геометрія і топологія” й забезпечують сприйняття нових знань.

Знання властивостей самоафінності, самоподібності фракталів, геометрично-конструктивного способу їх завдання створює широке дослідницьке поле для вивчення фрактальних множин. На рис. 1 наведено наближення класичної фрактальної множини, яка називається сніжинка Коха. Ця множина є кривою, причому в жодній її точці не існує дотичної. Крім того, дуга сніжинки Коха, яка міститься в будь-якому, як завгодно малому околі кожної її точки, має нескінченну довжину. Як виявилось, сніжинка Коха та подібні їй криві можуть розглядатись як моделі берегових ліній (особливо для таких складних берегових рельєфів, як морські фіорди). На рис. 2 наведено перші кроки побудови іншої цікавої фрактальної кривої – так званої “губки Менгера”. Подібні їй множини використовують при моделюванні поруватих тіл. На рис. 3 наведені побудовані за допомогою комп’ютера самоафінні фрактали, які називають “фрактальними деревами”. Ці та подібні їм множини використовують при моделюванні фізичних об’єктів гіллястої структури: дерев, русел річок, розрядів блискавок, нервової та кровоносної систем і т.п. [9, 10]







Поділіться з Вашими друзьями:
1   ...   20   21   22   23   24   25   26   27   ...   120


База даних захищена авторським правом ©pedagogi.org 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка